含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax²+bx+c>0 或 ax²+bx+c<0(a不等于0)其中ax²+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式。
解法
解法一
當(dāng)△=b²-4ac≥0時(shí)，
一元二次方程ax²+bx+c=0　有兩個(gè)實(shí)根，那么ax²+bx+c可分解為如a(x-x1)(x-x2)的形式。
這樣，解一元二次不等式就可歸結(jié)為解兩個(gè)一元一次不等式組。一元二次不等式的解集就是這兩個(gè)一元一次不等式組的解集的交集。
舉例：
試解一元二次不等式
蘇教版高三數(shù)學(xué)上冊(cè)第三單元知識(shí)點(diǎn)：一元二次不等式
解：
利用十字相乘法：
蘇教版高三數(shù)學(xué)上冊(cè)第三單元知識(shí)點(diǎn)：一元二次不等式
2x 　-3
x　 -2
得(2x-3)(x-2)<0
然后，分兩種情況討論。
口訣同一元一次不等式的“數(shù)軸法”：大大取大，小小取小;大小小大取中間，小小大大沒(méi)有解。
1) 2x-3<0，x-2>0
得x<1.5且x>2(不成立)
2)2x-3>0，x-2<0
得x>1.5且x<2。
得最終不等式的解集為：
蘇教版高三數(shù)學(xué)上冊(cè)第三單元知識(shí)點(diǎn)：一元二次不等式
解法二
此外，亦可用配方法解一元二次不等式。
如上例題中：
2x²-7x+6
=2(x²-3.5x)+6
=2(x²-3.5x+3.0625-3.0625)+6
=2(x²-3.5x+3.0625)-6.125+6
=2(x-1.75)²-0.125<0
2(x-1.75)²<0.125
(x-1.75)²<0.0625
兩邊開(kāi)平方，得：x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25
x<2且x>1.5
得不等式的解集為
蘇教版高三數(shù)學(xué)上冊(cè)第三單元知識(shí)點(diǎn)：一元二次不等式
解法三
一元二次不等式也可通過(guò)一元二次函數(shù)圖象進(jìn)行求解。
通過(guò)看圖象可知，二次函數(shù)圖象與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，然后根據(jù)題中所需求"<0"或">0"而推出答案。
求一元二次不等式的解集實(shí)際上是將這個(gè)一元二次不等式的所有項(xiàng)移到不等式一側(cè)并進(jìn)行因式分解分類(lèi)討論求出解集。解一元二次不等式，可將一元二次方程不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，求出函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，將一元二次不等式，二次函數(shù)，一元二次方程聯(lián)系起來(lái)，并利用圖象法進(jìn)行解題，使得問(wèn)題簡(jiǎn)化。解法四
數(shù)軸穿根：用穿根法解高次不等式時(shí)，就是先把不等式一端化為零，再對(duì)另一端分解因式，并求出它的零點(diǎn)，把這些零點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上，再用一條光滑的曲線，從x軸的右端上方起，依次穿過(guò)這些零點(diǎn)，這大于零的不等式的解對(duì)應(yīng)這曲線在x軸上方部分的實(shí)數(shù)x得起值集合，小于零的這相反。這種方法叫做序軸穿根法，又叫“穿根法”�？谠E是“從右到左，從上到下，奇穿偶不穿。”
●做法:
1.把二次項(xiàng)系數(shù)變成正的(不用是1,但是得出者為正解);
2.畫(huà)數(shù)軸,在數(shù)軸上從小到大依次標(biāo)出所有根;
3.從右上角開(kāi)始,一上一下依次穿過(guò)不等式的根，奇過(guò)偶不過(guò)
(即遇到含X的項(xiàng)是奇次冪就穿過(guò),偶次冪就跨過(guò)。后文有詳細(xì)介紹);
4.注意看看題中不等號(hào)有沒(méi)有等號(hào),沒(méi)有的話(huà)還要注意寫(xiě)結(jié)果時(shí)舍去使不等式為0的根。
●例如不等式: x²-3x+2≤0(次項(xiàng)系數(shù)一定要為正，不為正要化成正的)
⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0;
⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;
⒊畫(huà)數(shù)軸,并把根所在的點(diǎn)標(biāo)上去;
⒋注意，此時(shí)從最右端開(kāi)始,從2的右上方引出一條曲線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)2，繼續(xù)向左繪制,類(lèi)似于拋物線，再經(jīng)過(guò)點(diǎn)1，向點(diǎn)1的左上方無(wú)限延伸;
⒌看題求解,題中要求求≤0的解，那么只需在數(shù)軸上觀察哪一段在數(shù)軸及數(shù)軸以下即可,觀察可以得到：1≤x≤2。[1]
●高次不等式亦如此。例如一個(gè)分解因式后所得之不等式：
x(x+2)(x-1)(x-3)>0
照例，先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根：
x=0，x=1，x=-2，x=3
在數(shù)軸上依次標(biāo)出這些點(diǎn).還是從最右邊的一點(diǎn)3的右上方引出一條曲線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,在1、3之間類(lèi)似于一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)1;繼續(xù)向點(diǎn)1的左上方延伸，這條曲線在點(diǎn)0、1之間類(lèi)似于一條開(kāi)口向下的曲線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)0;繼續(xù)向0的左下方延伸，在0、-2之間類(lèi)似于一條開(kāi)口向上的拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)-2;繼續(xù)向點(diǎn)-2的左上方無(wú)限延伸。
方程中要求的是>0，
只需觀察曲線在數(shù)軸上方的部分所取的x的范圍即可。
x<-2或03。
●⑴遇到根是分?jǐn)?shù)或無(wú)理數(shù)和遇到整數(shù)時(shí)的處理方法是一樣的,都是在數(shù)軸上把這個(gè)根的位置標(biāo)出來(lái);
⑵“奇過(guò)偶不過(guò)”中的“奇、偶”指的是分解因式后,某個(gè)因數(shù)的指數(shù)是奇數(shù)或者偶數(shù);
比如對(duì)于不等式(X-2)²·(X-3)>0
(X-2)的指數(shù)是2,是偶數(shù),所以在數(shù)軸上畫(huà)曲線時(shí)就不穿過(guò)2這個(gè)點(diǎn)，
而(X-3)的指數(shù)是1,是奇數(shù),所以在數(shù)軸上畫(huà)曲線時(shí)就要穿過(guò)3這個(gè)點(diǎn)。
(3)分子中一定都是能夠因式分解成一次式的因式，否則不能用此方法。[1]
判別方法
當(dāng) a>0 時(shí)：
判別式△(b²-4ac)>0時(shí)，ax²+bx+c=0有兩個(gè)不相等的根(設(shè)x10的解集是：
蘇教版高三數(shù)學(xué)上冊(cè)第三單元知識(shí)點(diǎn)：一元二次不等式
或
蘇教版高三數(shù)學(xué)上冊(cè)第三單元知識(shí)點(diǎn)：一元二次不等式
。
判別式△(b²-4ac)=0時(shí)，因?yàn)閍>0，二次函數(shù)圖象拋物線的開(kāi)口向上，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則x1=x2，所以不等式ax²+bx+c>0的解集是x≠x1的全體實(shí)數(shù)，而不等式ax²+bx+c<0的解集是空集。
判別式△(b²-4ac)<0時(shí)，拋物線在x軸的上方與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。所以不等式ax²+bx+c>0的解集是全體實(shí)數(shù)，而不等式ax²+bx+c<0的解是空集。(無(wú)解)
當(dāng) a<0 時(shí)：
判別式△(b²-4ac)>0時(shí)，ax²+bx+c=0有兩個(gè)不相等的根(設(shè)x10的解集是：x1
判別式△(b²-4ac)=0時(shí)，因?yàn)閍<0，二次函數(shù)圖象拋物線的開(kāi)口向下，拋物線與橫軸有一個(gè)交點(diǎn)，則x1=x2，所以不等式ax²+bx+c<0的解集是x≠x1的全體實(shí)數(shù)，而不等式ax²+bx+c>0的解集是空集。
判別式△(b²-4ac)<0時(shí)，拋物線在x軸的下方與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。所以不等式ax²+bx+c<0的解集是全體實(shí)數(shù)，而不等式ax²+bx+c>0的解是空集。(無(wú)解)