高二數(shù)學(xué)說課稿：不等式的證明綜合法說課稿
一、本節(jié)課在本章中的地位
綜合法是不等式證明的一種方法，這種方法是：根據(jù)不等式的性質(zhì)和已經(jīng)證明過的不等式來進(jìn)行。 綜合法.從已知(已經(jīng)成立)的不等式或定理出發(fā)，逐步推出(由因?qū)Ч?所證的不等式成立.例如要證 ，我們從 ，得 ，移項得 .綜合法的證明過程表現(xiàn)為一連串的“因為……所以……”，可用一連串的“ ”來代替.
綜合法的證明過程是下一節(jié)課學(xué)習(xí)的不等式的證明的又一必須掌握的方法——分析法的思考過程的逆推，而分析法的證明過程恰恰是綜合法的思考過程。 實際上在前面兩個重要的不等式平方不等式和均值定理的證明及不等式的性質(zhì)證明當(dāng)中，我們已經(jīng)運用了綜合法，但當(dāng)時只是沒有提出或采用這個名字而已。本節(jié)課是不等式的證明的每第二節(jié)課，由于立方不等式已移至閱讀材料當(dāng)中，故例題只有一個，是運用平方不等式來作為基礎(chǔ)工具。
二、本節(jié)課的教學(xué)重、難點
本節(jié)課的教學(xué)重點是運用綜合法證明不等式。
教學(xué)難點是如何正確運用綜合法證明不等式。用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：(已知)——(逐步推演不等式成立的必要條件)(——結(jié)論) 即 由此可見，綜合法是“由因?qū)Ч保从梢阎獥l件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立。 難點突破方法：由于綜合法不象比較法，它必須從某個不等式的性質(zhì)和已經(jīng)證明過的不等式出發(fā)，運用不等式的性質(zhì)進(jìn)行一系列的恒等變形，直到得出結(jié)論。 因此要求學(xué)生對所學(xué)習(xí)的不等式的5個定理，4個推論和不等式平方不等式和均值定理必須熟悉，在進(jìn)行教學(xué)時，首先要與學(xué)生一起回顧前面所學(xué)不等式性質(zhì)、定理，并板書在黑板上，便于學(xué)生直接運用，從而節(jié)約學(xué)習(xí)時間;其次，用綜合法進(jìn)行不等式的證明時，通常要觀察所證的不等式的結(jié)構(gòu)，找出它與前面所學(xué)不等式性質(zhì)、定理在結(jié)構(gòu)上的某些相似之處，所以又要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從結(jié)構(gòu)上進(jìn)行觀察，大膽猜測，小心求證，并以此為契機(jī)，復(fù)習(xí)掌握前面所學(xué)不等式性質(zhì)、定理。 三、教學(xué)過程設(shè)計 ①復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)、平方不等式[如果 ]、均值定理[如果a,b是正數(shù)，那么 ]、比較法證明不等式的步驟。
(說明復(fù)習(xí)兩個不等式是為了例1的解決)
②提出問題：例1已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：
讓學(xué)生思考，本題如何證明?用比較法?
(提出問題讓學(xué)生感知比較法進(jìn)行證明時，作差后的變形是難點，有沒有其他更快的證明方法?當(dāng)學(xué)生難于判斷差與0的關(guān)系時，認(rèn)識到學(xué)習(xí)新方法的必要性，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲。)
出示本節(jié)課課題“不等式的證明(2)——綜合法”
③引導(dǎo)學(xué)生觀察所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)，思維來自觀察，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，而這正是綜合法的要點，由結(jié)構(gòu)大膽猜測。 引導(dǎo)學(xué)生：從所要證的不等式的左邊看，有三個單元結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)都有平方不等式的左邊一樣的結(jié)構(gòu)，但右邊系數(shù)是6，且為三個字母之積，又如何變出來?能否試試給出證明? 讓學(xué)生通過自己運用所學(xué)知識，嘗試，在嘗試中學(xué)會知識，實踐出真知。 ④引導(dǎo)學(xué)生通過證明，總結(jié)這種方法與差比法證明不等式的區(qū)別在哪里?
證明：∵ ≥2bc,a>0,
∴ ≥2abc ①
同理 ≥2abc ②
≥2abc ③
因為a，b，c不全相等，所以 ≥2bc, ≥2ca, ≥2ab三式不能全取“=”號，從而①、②、③三式也不能全取“=”號
∴
注意：A、對于“①、②、③三式也不能全取“=”號”一定要給出，否則結(jié)論應(yīng)為 ;
B、要提問學(xué)生“a，b，c是的正數(shù)”的含義。這是一個重要的條件，“不全相等”與“全不相等”不一樣，如全(都)不相等，則三個不等式中都沒有“=”號。
C、本題的關(guān)鍵在哪里?
從已知(已經(jīng)成立)的不等式或定理出發(fā)，逐步推出(由因?qū)Ч?所證的不等式成立。用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：(已知)——(逐步推演不等式成立的必要條件)(——結(jié)論) 即 由此可見，綜合法是“由因?qū)Ч�，即由已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立。 ⑤課堂練習(xí)。 “學(xué)而時習(xí)之，不亦樂乎”，通過再實踐，完成課本練習(xí)，在證明時，提醒學(xué)生首先要觀察不等式的結(jié)構(gòu)，選擇出發(fā)點，一步一步向目標(biāo)靠近。抽學(xué)生到黑板上板演，通過學(xué)生的解答發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)經(jīng)驗。 ⑥補(bǔ)充例題。由于課本上例題以及練習(xí)都比較單一，用簡單的綜合法即可得到，但在不等式的證明中，有時要綜合運用幾種方法才可證明，而不是只用單一的方法。因此補(bǔ)充是必要的。 例2 已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，
求證：
分析：本題所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)與例1不一樣，右邊也看不到平方不等式的相同結(jié)構(gòu)之處。可以先考慮作差;如何判斷，差的結(jié)果與0的關(guān)系?注意“a，b，c成等比數(shù)列”可以得出什么信息? 。
證明：左-右= (需證明差與0的關(guān)系)
∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴ (說明： ，關(guān)鍵要證明 )
又∵a，b，c都是正數(shù)，所以 ≤ (又用到成等比數(shù)列和均值定理的變形)
∴
∴
∴
反思：此題在證明過程中運用了差比法、基本不等式、等比中項性質(zhì)，體現(xiàn)了綜合法證明不等式的特點，還告訴我們在證明不等式時，并不一定只用到一種單一的方法，而是要采用所學(xué)知識，將理由說明清楚。
⑦課堂小結(jié)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求熟練掌握并應(yīng)用已學(xué)的重要不等式及不等式性質(zhì)推出所證不等式成立，進(jìn)而掌握綜合法證明不等式。
⑧課外作業(yè)：
教學(xué)中的注意點：啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生觀察、讓學(xué)生多動手、動腦;先做后說，學(xué)習(xí)總結(jié)經(jīng)驗，上升理論，升華思維。
