一．填空題
1．設 是否空集合，定義 且 ，已知
B= ，則 等于___________
2．若 是純虛數，則 的值為___________
3．有一種波，其波形為函數 的圖象，若在區(qū)間[0，t]上至少有2個波峰（圖象的高點），則正整數t的小值是___________
4．我市某機構調查小學生課業(yè)負擔的情況，設平均每人每做作業(yè)時間 （單位：分鐘），按時間分下列四種情況統(tǒng)計：0～30分鐘；②30～60分鐘；③60～90分鐘；④90分鐘以上，有1000名小學生參加了此項調查，右圖是此次調查中某一項的流程圖，其輸出的結果是600，則平均每天做作業(yè)時間在0～60分鐘內的學生的頻率是___________
5．已知直線 與圓 相交于， 兩點， 是優(yōu)弧 上任意一點，則 =___________
6. 已知 是等差數列， ，則該數列前10項和 =________
7. 設 的內角， 所對的邊長分別為 ，且 則
的值為_________________
8 ．當 時， ，則方程 根的個數是___________
9．設 是 的重心，且 則 的大小為___________
10．設 ，若“ ”是“ ”的充分條件，則實數 的取值范圍是________________
11．設雙曲線 =1的右頂點為 ，右焦點為 ，過點 作平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點 ，則 的面積為___________
12．若關于 的不等式組 表示的平面區(qū)域是一個三角形，則 的取值范圍是_______________
13．已知函數 的大小關系為_____________
14．如果一條直線和一個平面垂直，則稱此直線與平面構成一個“正交線面對”，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成“正交線面對”的概率為________
二．解答題
15. 設函數 。
（1）寫出函數 的小正周期及單調遞減區(qū)間；
（2）當 時，函數 的大值與小值的和為 ，求 的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積。
16. 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,
G是CC1上的動點。
（Ⅰ）求證：平面ADG⊥平面CDD1C1
（Ⅱ）判斷B1C1與平面ADG的位置關系，并給出證明；
17. 某高級中學共有學生2000人，各年級男、女生人數如下表：
高一 高二 高三
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.19.
（Ⅰ）現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在高三年級抽取多少人？
（Ⅱ）已知 求高三年級女生比男生多的概率.
18. 已知 均在橢圓 上，直線 、 分別過橢圓的左右焦點 、 ，當 時，有 .
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)設 是橢圓 上的任一點， 為圓 的任一條直徑，求 的大值.
19. 過點P（1，0）作曲線 的切線，切點為M1，設M1在x軸上的投影是點P1。又過點P1作曲線C的切線，切點為M2，設M2在x軸上的投影是點P2，…。依此下去，得到一系列點M1，M2…，Mn，…，設它們的橫坐標a1，a2，…，an，…，構成數列為 。
（1）求證數列 是等比數列，并求其通項公式；
（2）求證： ；
（3）當 的前n項和Sn。
20.設函數f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
（1） 當a=0時，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍;
（2） 當m=2時，若函數k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同零點，求實數 a的取值范圍;
（3） 是否存在實數m，使函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由。
參考答案
一．填空題
1. （2， ） 2. 3.5 4. ．0.40 5. 6.100 7.4 8. 2個 9. 60°
10. （-2，2）11. 12． 13． 14．
二．解答題
15. 解（1）
故函數 的單調遞減區(qū)間是 。
（2）
當 時，原函數的大值與小值的和
的圖象與x軸正半軸的第一個交點為
所以 的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積
16. .解：（Ⅰ）∵ ABCD－A1B1C1D1是長方體，且AB=AD
∴ 平面
∵ 平面 ∴平面ADG⊥平面CDD1C1
（Ⅱ）當點G與C1重合時，B1C1在平面ADG內，
當點G與C1不重合時，B1C1∥平面ADG
證明：∵ABCD－A1B1C1D1是長方體，
∴B1C1∥AD
若點G與C1重合， 平面ADG即B1C1與AD確定的平面，∴B1C1 平面ADG
若點G與C1不重合
∵ 平面 , 平面 且B1C1∥AD
∴B1C1∥平面ADG
17. 解:（Ⅰ） -
高三年級人數為
現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，應在高三年級抽取的人數為
(人).
（Ⅱ）設“高三年級女生比男生多”為事件 ，高三年級女生、男生數記為 .
由（Ⅰ）知 且
則基本事件空間包含的基本事件有
共11個,
事件 包含的基本事件有
共5個
答：高三年級女生比男生多的概率為 .
18. 解:(Ⅰ)因為 ，所以有
所以 為直角三角形；
則有
所以，
又 ，
在 中有
即 ，解得
所求橢圓 方程為
(Ⅱ)
從而將求 的大值轉化為求 的大值
是橢圓 上的任一點，設 ，則有 即
又 ，所以
而 ,所以當 時， 取大值
故 的大值為8.
19. 解：（1）對 求導數，得 的切線方程是
當n=1時，切線過點P（1，0），即0
當n>1時，切線過點 ，即0
所以數列
所以數列
（2）應用二項公式定理，得
（3）當
，
同乘以
兩式相減，得
所以
20. 解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即
記 ，則f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等價于 .
求得
當 時; ;當 時，
故 在x=e處取得極小值，也是小值，
即 ，故 .
（2）函數k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有兩個相異實根。
令g(x)=x-2lnx,則
當 時， ,當 時，
g(x)在[1,2]上是單調遞減函數，在 上是單調遞增函數。
故
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)
（3）存在m= ，使得函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性
,函數f(x)的定義域為（0,+∞）。
若 ，則 ，函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增，不合題意;
若 ,由 可得2x2-m>0，解得x> 或x<- （舍去）
故 時，函數的單調遞增區(qū)間為( ,+∞)
單調遞減區(qū)間為(0, )
而h(x)在(0,+∞)上的單調遞減區(qū)間是(0, )，單調遞增區(qū)間是( ，+∞)
故只需 = ，解之得m=
即當m= 時，函數f(x)和函數h(x)在其公共定義域上具有相同的單調性。
