【篇一】
中國剩余定理的由來
韓信點兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
劉邦茫然而不知其數。
我們先考慮下列的問題：假設兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少?
首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945(注：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積)，然后再加3，得9948(人)。
中國有一本數學古書「孫子算經」也有類似的問題：
「今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何?」答曰：「二十三」術曰：「三三數之剩二，置一百四十，五五數之剩三，置六十三，七七數之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十，五五數之剩一，則置二十一，七七數之剩一，則置十五，即得�！�
孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之后，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發(fā)現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。
【篇二】
中國剩余定理在數論中的地位
中國剩余定理是數論四大定理(威爾遜定理、歐拉定理、費馬小定理、中國剩余定理)之一，在初等數論中有著非常廣泛和重要的應用。
中國剩余定理問題的解題技巧
【問題】有1個數，除以7余2.除以8余4，除以9余3，這個數至少是多少?
這種問題稱為“中國剩余定理”問題。
我一般用兩種方法解決這類問題。
第一種是逐步滿足法，方法麻煩一點，但適合所有這類題目。
第二種是最小公倍法，方法簡單，但只適合特殊類型的題目。
還有“中國剩余定理”的方法，但它不完善且解法較為復雜，普及應用有一定難度，還不穩(wěn)定。所以一般不用。
下面分別介紹一下常用的兩種方法。
通用的方法：逐步滿足法
【問題】一個數，除以5余1，除以3余2。問這個數最小是多少?
把除以5余1的數從小到大排列：1，6，11，16，21，26，……
然后從小到大找除以3余2的，發(fā)現最小的是11.
所以11就是所求的數。
先滿足一個條件，再滿足另一個條件，所以稱之為“逐步滿足法”。
好多數學題目都可以用逐步滿足的思想解決。
特殊的方法：最小公倍法
情況一
【問題】一個數除以5余1，除以3也余1。問這個數最小是多少?(1除外)
除以5余1：說明這個數減去1后是5的倍數。
除以3余1：說明這個數減去1后也是3的倍數。
所以，這個數減去1后是3和5的公倍數。要求最小，所以這個數減去1后就是3和5的最小公倍數。即這個數減去1后是15，所以這個數是15+1=16.
情況二
【問題】一個數除以5余4，除以3余2。問這個數最小是多少?
這種情況也可以用特殊法。
數除以5余4，說明這個數加上1后是5的倍數。
數除以3余2，說明這個數加上1后也是3的倍數。
所以，這個數加上1后是3和5的公倍數。要求最小，所以這個數加上1后就是3和5的最小公倍數。即這個數加上1后是15，所以這個數是15-1=14.
多個數的，比如3個數的，有時候其中兩個可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出滿足兩個條件的數后再用通用的方法求滿足最后一個條件的數。
所以有時候特殊法和通用法混合使用。在使用的過程中如果能靈活運用余數問題的技巧，會非常有利于解題。
我們接下來分析最開始的那個問題。
【問題】有1個數，除以7余2.除以8余4，除以9余3，這個數至少是多少?
這道題目不能用特殊法，我們用通用法，解題過程中注意余數知識的運用。
除以7余2的數可以寫成7n+2。
7n+2這樣的數除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。(余數知識)
7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6(余數知識)，則n最小取6。
所以滿足“除以7余2，除以8余4”的最小的數是7×6+2=44.
所有滿足“除以7余2，除以8余4”的數都可以寫成44+56×m。(想想為什么?)
要求44+56×m除以9余3，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。(余數知識)
56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2(余數知識)，則m最小取2。
所以滿足“除以7余2，除以8余4，除以9余3”的最小的數是44+56×2=156.
【篇三】
運用中國剩余定理解題注意事項
如果整數a除以整數b所得余數是1，那么，整數a的2倍、3倍、4倍、……、(b-1)倍除以整數b所得的余數就分別是
1×2=2，
1×3=3，
1×4=4，
…………
1×(b-1)=b-1.
例如，15÷7=2……余1，即
2×15÷7=4……余2，
3×15÷7=6……余3，
4×15÷7=8……余4，
5×15÷7=10……余5，
6×15÷7=12……余6.
還請大家注意一條經驗.
從某數a中連續(xù)減去若干個b后，求所得的要求小于數b的差數，實際上就是求數a除以數b所得的余數.
例如，從758里連續(xù)減去若干個105后，求所得的要求小于105的差數，實際上就是求758除以105所得的余數.即
758÷105=7……余23.
