一.課標解讀
1.《普通高中數(shù)學課程》課程中明確指出"理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集; 在具體情境中,了解全集與空集的含義."
2.重點:子集的概念
3.難點:元素與子集.屬于與包含之間的區(qū)別.
二.要點掃描
1. 子集的定義
如果集合中的任意一個元素都是集合的元素,則集合是集合的子集.也說集合包含于集合,或集合包含集合,記作或(注意:任何一個集合是它本身的子集)
2. 空集的定義
空集是任意一集合的子集,也就是說,對任意集合,都有.
3. 兩集合相等
如果,則等于,記作=;反之,如果=,則.
4. 真子集的定義
如果,且中至少有一個元素不屬于,那么集合是集合的真子集,記作.以上條件還可概括為:如果,且,則.(注意:空集是任何非空集合的真子集.)
5. 有限集合的子集個數(shù)
個元素的集合有個子集;有個非空子集;有個真子集;有個非空真子集.
6. 維恩圖
這種圖在數(shù)學上也稱為文(Tohn Venn,1834年~1923年英國邏輯學家)氏圖.它僅僅起著說明各集合之間關(guān)系的示意圖的作用(就像交通示意圖只說明各車站之間的位置關(guān)系那樣),因此,邊界用直線還是曲線,乃實線還虛線都無關(guān)緊要,只要封閉并把有關(guān)元素或子集統(tǒng)統(tǒng)包在里邊就行.決不能理解成圈內(nèi)的每一點都是這個集合的元素(事實上,這個集合可能與點毫無關(guān)系);至于邊界上的點是否屬于這個集合,也都不必考慮.
三.知識精講
知識點1區(qū)分
表示以空集,為元素的單元素集合,當把視為集合時, 成立;
當把視為元素時,也成立.表示元素,表示以為元素的單元素集合,不能混淆它們的含意.
知識點2區(qū)分與
表示元素與集合之間的關(guān)系,如:;
表示集合與集合之間的關(guān)系,如等.
四.典題解悟
----------------------------------------------------基礎在線----------------------------------------------------
[題型一]子集與真子集
如果集合中的任意一個元素都是集合的元素,則集合是集合的子集. 如果,且中至少有一個元素不屬于,那么集合是集合的真子集.
例1. 滿足的集合是什么?
解析:由可知,集合必為非空集合;又由可知,此題即為求集合的所有非空子集。滿足條件的集合有,共十五個非空子集。
此題可以利用有限集合的非空子集的個數(shù)的公式進行檢驗，，正確。
答案:15
例2. 已知，試確定A，B，C之間的關(guān)系。
解析:由題意可得:A={0，1} , B={，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}
答案:A，B，C之間的關(guān)系是
[題型二] 區(qū)分
是空集，是不含任何元素的集合;{}不是空集，它是以一個為元素的單元素集合，而非不含任何元素，所以{};{}也不是空集，而是單元素集合，只有一個元素，可見{}，{}，這也體現(xiàn)了"是集合還是元素，并不是絕對的"。
例3. 判斷正誤
(1) (2) = (3)
(4) (5) (6)
解析: 表示以為元素的單元素集合,當把視為集合時, 成立;
當把視為元素時,也成立.表示元素,表示以為元素的單元素集合,不能混淆它們的含意.
答案: (1) ;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6).
[題型三] 集合的相等
例4. ，若，求。
解析:，即兩集合的元素相同，有兩種可能：
解得 ; 解得
∴或。
答案: 或。
例5. 含有三個實數(shù)的集合可表示為集合也可表示為集合,求.
解析:從集合相等及集合元素的特征入手.由集合元素的確定性及集合相等,得
=-----①,從而有,因為,所以代入①,得-----②,由②易知.當時,與集合的互異性不符,從而,,故.
答案:-----------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------------
1. 有關(guān)子集綜合問題的解法
⑴在解子集的綜合問題時，首先要注意集合自身的轉(zhuǎn)化，能夠用列舉法表述的，盡可能用列舉法，這樣時的集合中的元素清晰明確，使問題簡單化。其次，解決這類問題常用到分類討論的方法。如即可分兩類討論：⑴⑵，而對于⑴又可分兩類討論：⑴⑵，從而使問題得到解決。需注意這種情況易被遺漏。注意培養(yǎng)慎密的思維品質(zhì)
⑵解決子集問題的又一常用方法是數(shù)形結(jié)合。首先還是集合的自身轉(zhuǎn)換，根據(jù)題意，用適合的方法來描述集合，進行轉(zhuǎn)換，然后利用數(shù)軸來體現(xiàn)子集的含義，即集合間的包含關(guān)系，再由圖示找出相應的關(guān)系式，從而使問題得到解決。
例6. 已知集合，，若，求實數(shù)滿足的條件。
解析:由于集合可用列舉法表示為，所以可能等于，即;也可能是的真子集，即=，或=，或=，從而求出實數(shù)滿足的條件。
∵，且，可得
⑴當時，，由此可知，是方程的兩根，
由韋達定理無解;⑵當時①,即=,=, ，解得，
此時，符合題意，即符合題意;
②，，解得，
綜合⑴⑵知：滿足的條件是。
答案:
例7. 已知集合，，且，求實數(shù)的取值范圍。
解析:此題要分和兩種情況討論。
⑴， 即，依題意，有，在數(shù)軸上作出包含關(guān)系圖形，如圖：有解得; �、�,即，解得;
綜合以上兩種情況，可知實數(shù)的取值范圍是。
答案:
-----------------------------------------------錯解點擊-----------------------------------------------
例8. ⑴已知集合用列舉法寫出;
⑵已知集合用列舉法寫出。
錯解: ⑴=
⑵=
正解: ⑴=
⑵=
分析:認識一個集合并非十分容易, 集合本身也可以做另外集合的元素.
⑴由已知條件注意到中的元素的屬性是，即是的子集, 可以是, ∴=
⑵由已知條件注意到中的元素的屬性是,即是的元素, 可以是, ∴=
五.課本習題解析
習題1-1A(課本第118頁) 1. 2.
六.同步自測
-----------------------------------------------雙基訓練-----------------------------------------------
1.集合的子集有 個
(A) 5 (B) (C) (D)
2.集合，，則有( )
(A) (B) (C) (D) 以上都不是
3.滿足關(guān)系式的集合的個數(shù)為( )
(A) (B) (C) (D)
4.若集合M={x|x≤}，a=，則下列關(guān)系正確的是( )
(A).{a}M (B).{a}M (C).aM (D).aM
5. 下面六個關(guān)系式
① ②③ ④⑤⑥
其中正確的是( )
(A).①②③④(B).③⑤⑥ (C).①④⑤(D).①③⑤
6.已知集合和，那么( )
A. B. C. D.
7.設集合,則( )
A. B. C. D.=
8. 數(shù)集與的關(guān)系是( )
A. B. C. D.
9. 設集合則集合之間的關(guān)系是( )
. . . .以上都不對
10. 若則滿足上述條件的集合有 個;
11. 設，，則 ;
12. 集合M={1，2，(1，2)｝有______個子集，它們是 。
13.同時滿足(1)M{1，2，3，4，5}(2)若a∈M，則6a∈M的非空集合M有多少?寫出這些集合來。
14.已知求證：。
15.已知求實數(shù)的值。
-----------------------------------------------------綜合提高-----------------------------------------------------
16. 已知 ， .若，則實數(shù) 的取值范圍是 ;
17.數(shù)集X={x|x=12m+8n，m，n∈Z｝與數(shù)集Y={x|x=20p+16q，p，q∈Z｝之間的關(guān)系是 ;
18.集合P={x,1｝, Q={y,1,2｝, 其中x, y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9｝, 且P是Q的真子集, 把滿足上述條件的一對有序整數(shù)(x, y)作為一個點, 這樣的點的個數(shù)是 個;
19.已知三個元素的集合 ， ,如果 ，那么 的值為 .
20. 已知，，求實數(shù)的取值集合。
21. 已知集合，，求的值。七.相關(guān)鏈接
康托爾的不朽功績
前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫戈洛夫評價康托爾的工作時說："康托爾的不朽功績在于他向無窮的冒險邁進".因而只有當我們了解了康托爾在對無窮的研究中究竟做出了些什么結(jié)論后才會真正明白他工作的價值之所在和眾多反對之聲之由來.
數(shù)學與無窮有著不解之緣，但在研究無窮的道路上卻布滿了陷阱.因為這一原因，在數(shù)學發(fā)展的歷程中，數(shù)學家們始終以一種懷疑的眼光看待無窮，并盡可能回避這一概念.但試圖把握無限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路.他把無窮集這一詞匯引入數(shù)學，從而進入了一片未開墾的處女地，開辟出一個奇妙無比的新世界.對無窮集的研究使他打開了"無限"這一數(shù)學上的潘多拉盒子.下面就讓我們來看一下盒子打開后他釋放出的是什么.
"我們把全體自然數(shù)組成的集合簡稱作自然數(shù)集，用字母N來表示."學過集合那一章后，同學們應該對這句話不會感到陌生.但同學們在接受這句話時根本無法想到當年康托爾如此做時是在進行一項更新無窮觀念的工作.在此以前數(shù)學家們只是把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋.無限永遠處在構(gòu)造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在.這種關(guān)于無窮的觀念在數(shù)學上被稱為潛無限.十八世紀數(shù)學王子高斯就持這種觀點.用他的話說，就是"......我反對將無窮量作為一個實體，這在數(shù)學中是從來不允許的.所謂無窮，只是一種說話的方式......"而當康托爾把全體自然數(shù)看作一個集合時，他是把無限的整體作為了一個構(gòu)造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在數(shù)學上稱為實無限思想.由于潛無限思想在微積分的基礎重建中已經(jīng)獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當時遭到一些數(shù)學家的批評與攻擊是無足為怪的.然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮.他在實無限觀念基礎上進一步得出一系列結(jié)論，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠的理論.這一理論使人們真正進入了一個難以捉摸的奇特的無限世界.
能顯示出他獨創(chuàng)性的是他對無窮集元素個數(shù)問題的研究.他提出用一一對應準則來比較無窮集元素的個數(shù).他把元素間能建立一一對應的集合稱為個數(shù)相同，用他自己的概念是等勢.由于一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應例如同學們很容易發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對應關(guān)系也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個數(shù).這與傳統(tǒng)觀念"全體大于部分"相矛盾.而康托爾認為這恰恰是無窮集的特征.在此意義上，自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個數(shù)，他將其稱為可數(shù)集.又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢，因而有理數(shù)集也是可數(shù)集.后來當他又證明了代數(shù)數(shù)[注]集合也是可數(shù)集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數(shù)集.但出乎意料的是，他在1873年證明了實數(shù)集的勢大于自然數(shù)集.這不但意味著無理數(shù)遠遠多于有理數(shù)，而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟，如同有人描述的那樣："點綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星;而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成."而當他得出這一結(jié)論時，人們所能找到的超越數(shù)尚僅有一兩個而已.這是何等令人震驚的結(jié)果!然而，事情并未終結(jié).魔盒一經(jīng)打開就無法再合上，盒中所釋放出的也不再限于可數(shù)集這一個無窮數(shù)的怪物.從上述結(jié)論中康托爾意識到無窮集之間存在著差別，有著不同的數(shù)量級，可分為不同的層次.他所要做的下一步工作是證明在所有的無窮集之間還存在著無窮多個層次.他取得了成功，并且根據(jù)無窮性有無窮種的學說，對各種不同的無窮大建立了一個完整的序列，他稱為"超限數(shù)".他用希伯萊字母表中第一個字母"阿列夫"來表示超限數(shù)的精靈，終他建立了關(guān)于無限的所謂阿列夫譜系
它可以無限延長下去.就這樣他創(chuàng)造了一種新的超限數(shù)理論，描繪出一幅無限王國的完整圖景.可以想見這種至今讓我們還感到有些異想天開的結(jié)論在當時會如何震動數(shù)學家們的心靈了.毫不夸張地講，康托爾的關(guān)于無窮的這些理論，引起了反對派的不絕于耳的喧囂.他們大叫大喊地反對他的理論.有人嘲笑集合論是一種"疾病"，有人嘲諷超限數(shù)是"霧中之霧"，稱"康托爾走進了超限數(shù)的地獄".作為對傳統(tǒng)觀念的大革新，由于他開創(chuàng)了一片全新的領域，提出又回答了前人不曾想到的問題，他的理論受到激烈地批駁是正常的.當回頭看這段歷史時，或許我們可以把對他的反對看作是對他真正具有獨創(chuàng)性成果的一種褒揚吧.
高考解密
考點導航05考綱考題展示
考點①了解映射的概念,理解函數(shù)的概念
1.(2004年,湖北)解答案
2.(2004年,湖北)解法一解法二答案考點②
參考答案
-----------------------------------------------------1.2.1集合之間的關(guān)系-------------------------------------
1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.B
10.四 11. {{0}，{1}}
12. 八個;
，{1}，{2}，{1，{1，2}}， {2，{1，2}}，{1，2}，{1，2，{1，2}}，{{1，2}}
13. 七個 ;
{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
14. 根據(jù)真子集的定義證明。
15. 若，則=1或者-1，
若=1，則A={1，1，y},不成立，舍去=1;
若=-1，則A={-1，1，-y}，B={1，-1，}，=-，所以=0;
若=1，2=，則，2=，即=1，
前已證，應舍去。
綜上所述，=-1，=0。16. 或17. ,,所以X=Y
18. x, y的值有以下幾種可能的組合:
①x=2,y=3,4,5,6,7,8,9;②x=3,y=3;③x=4,y=4; ④x=5,y=5; ⑤x=6,y=6; ⑥x=7,y=7; ⑦x=8,y=8;⑧x=9,y=9;
所以答案為1419.所以答案為-2
20. 先將集合A用列舉法表示,再根據(jù)條件,分情況討論B中元素的情況,求a的值. A={-4，2}，關(guān)于B，分三種情況討論：
(1) B={-4}
(2) B={2}
(3) B={-4，2}，
所以的取值的集合是{-4，2}。
21. 有兩種可能: �、倩蛘撷谧⒁馑源鸢笧�.
1.《普通高中數(shù)學課程》課程中明確指出"理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集; 在具體情境中,了解全集與空集的含義."
2.重點:子集的概念
3.難點:元素與子集.屬于與包含之間的區(qū)別.
二.要點掃描
1. 子集的定義
如果集合中的任意一個元素都是集合的元素,則集合是集合的子集.也說集合包含于集合,或集合包含集合,記作或(注意:任何一個集合是它本身的子集)
2. 空集的定義
空集是任意一集合的子集,也就是說,對任意集合,都有.
3. 兩集合相等
如果,則等于,記作=;反之,如果=,則.
4. 真子集的定義
如果,且中至少有一個元素不屬于,那么集合是集合的真子集,記作.以上條件還可概括為:如果,且,則.(注意:空集是任何非空集合的真子集.)
5. 有限集合的子集個數(shù)
個元素的集合有個子集;有個非空子集;有個真子集;有個非空真子集.
6. 維恩圖
這種圖在數(shù)學上也稱為文(Tohn Venn,1834年~1923年英國邏輯學家)氏圖.它僅僅起著說明各集合之間關(guān)系的示意圖的作用(就像交通示意圖只說明各車站之間的位置關(guān)系那樣),因此,邊界用直線還是曲線,乃實線還虛線都無關(guān)緊要,只要封閉并把有關(guān)元素或子集統(tǒng)統(tǒng)包在里邊就行.決不能理解成圈內(nèi)的每一點都是這個集合的元素(事實上,這個集合可能與點毫無關(guān)系);至于邊界上的點是否屬于這個集合,也都不必考慮.
三.知識精講
知識點1區(qū)分
表示以空集,為元素的單元素集合,當把視為集合時, 成立;
當把視為元素時,也成立.表示元素,表示以為元素的單元素集合,不能混淆它們的含意.
知識點2區(qū)分與
表示元素與集合之間的關(guān)系,如:;
表示集合與集合之間的關(guān)系,如等.
四.典題解悟
----------------------------------------------------基礎在線----------------------------------------------------
[題型一]子集與真子集
如果集合中的任意一個元素都是集合的元素,則集合是集合的子集. 如果,且中至少有一個元素不屬于,那么集合是集合的真子集.
例1. 滿足的集合是什么?
解析:由可知,集合必為非空集合;又由可知,此題即為求集合的所有非空子集。滿足條件的集合有,共十五個非空子集。
此題可以利用有限集合的非空子集的個數(shù)的公式進行檢驗，，正確。
答案:15
例2. 已知，試確定A，B，C之間的關(guān)系。
解析:由題意可得:A={0，1} , B={，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}
答案:A，B，C之間的關(guān)系是
[題型二] 區(qū)分
是空集，是不含任何元素的集合;{}不是空集，它是以一個為元素的單元素集合，而非不含任何元素，所以{};{}也不是空集，而是單元素集合，只有一個元素，可見{}，{}，這也體現(xiàn)了"是集合還是元素，并不是絕對的"。
例3. 判斷正誤
(1) (2) = (3)
(4) (5) (6)
解析: 表示以為元素的單元素集合,當把視為集合時, 成立;
當把視為元素時,也成立.表示元素,表示以為元素的單元素集合,不能混淆它們的含意.
答案: (1) ;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6).
[題型三] 集合的相等
例4. ，若，求。
解析:，即兩集合的元素相同，有兩種可能：
解得 ; 解得
∴或。
答案: 或。
例5. 含有三個實數(shù)的集合可表示為集合也可表示為集合,求.
解析:從集合相等及集合元素的特征入手.由集合元素的確定性及集合相等,得
=-----①,從而有,因為,所以代入①,得-----②,由②易知.當時,與集合的互異性不符,從而,,故.
答案:-----------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------------
1. 有關(guān)子集綜合問題的解法
⑴在解子集的綜合問題時，首先要注意集合自身的轉(zhuǎn)化，能夠用列舉法表述的，盡可能用列舉法，這樣時的集合中的元素清晰明確，使問題簡單化。其次，解決這類問題常用到分類討論的方法。如即可分兩類討論：⑴⑵，而對于⑴又可分兩類討論：⑴⑵，從而使問題得到解決。需注意這種情況易被遺漏。注意培養(yǎng)慎密的思維品質(zhì)
⑵解決子集問題的又一常用方法是數(shù)形結(jié)合。首先還是集合的自身轉(zhuǎn)換，根據(jù)題意，用適合的方法來描述集合，進行轉(zhuǎn)換，然后利用數(shù)軸來體現(xiàn)子集的含義，即集合間的包含關(guān)系，再由圖示找出相應的關(guān)系式，從而使問題得到解決。
例6. 已知集合，，若，求實數(shù)滿足的條件。
解析:由于集合可用列舉法表示為，所以可能等于，即;也可能是的真子集，即=，或=，或=，從而求出實數(shù)滿足的條件。
∵，且，可得
⑴當時，，由此可知，是方程的兩根，
由韋達定理無解;⑵當時①,即=,=, ，解得，
此時，符合題意，即符合題意;
②，，解得，
綜合⑴⑵知：滿足的條件是。
答案:
例7. 已知集合，，且，求實數(shù)的取值范圍。
解析:此題要分和兩種情況討論。
⑴， 即，依題意，有，在數(shù)軸上作出包含關(guān)系圖形，如圖：有解得; �、�,即，解得;
綜合以上兩種情況，可知實數(shù)的取值范圍是。
答案:
-----------------------------------------------錯解點擊-----------------------------------------------
例8. ⑴已知集合用列舉法寫出;
⑵已知集合用列舉法寫出。
錯解: ⑴=
⑵=
正解: ⑴=
⑵=
分析:認識一個集合并非十分容易, 集合本身也可以做另外集合的元素.
⑴由已知條件注意到中的元素的屬性是，即是的子集, 可以是, ∴=
⑵由已知條件注意到中的元素的屬性是,即是的元素, 可以是, ∴=
五.課本習題解析
習題1-1A(課本第118頁) 1. 2.
六.同步自測
-----------------------------------------------雙基訓練-----------------------------------------------
1.集合的子集有 個
(A) 5 (B) (C) (D)
2.集合，，則有( )
(A) (B) (C) (D) 以上都不是
3.滿足關(guān)系式的集合的個數(shù)為( )
(A) (B) (C) (D)
4.若集合M={x|x≤}，a=，則下列關(guān)系正確的是( )
(A).{a}M (B).{a}M (C).aM (D).aM
5. 下面六個關(guān)系式
① ②③ ④⑤⑥
其中正確的是( )
(A).①②③④(B).③⑤⑥ (C).①④⑤(D).①③⑤
6.已知集合和，那么( )
A. B. C. D.
7.設集合,則( )
A. B. C. D.=
8. 數(shù)集與的關(guān)系是( )
A. B. C. D.
9. 設集合則集合之間的關(guān)系是( )
. . . .以上都不對
10. 若則滿足上述條件的集合有 個;
11. 設，，則 ;
12. 集合M={1，2，(1，2)｝有______個子集，它們是 。
13.同時滿足(1)M{1，2，3，4，5}(2)若a∈M，則6a∈M的非空集合M有多少?寫出這些集合來。
14.已知求證：。
15.已知求實數(shù)的值。
-----------------------------------------------------綜合提高-----------------------------------------------------
16. 已知 ， .若，則實數(shù) 的取值范圍是 ;
17.數(shù)集X={x|x=12m+8n，m，n∈Z｝與數(shù)集Y={x|x=20p+16q，p，q∈Z｝之間的關(guān)系是 ;
18.集合P={x,1｝, Q={y,1,2｝, 其中x, y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9｝, 且P是Q的真子集, 把滿足上述條件的一對有序整數(shù)(x, y)作為一個點, 這樣的點的個數(shù)是 個;
19.已知三個元素的集合 ， ,如果 ，那么 的值為 .
20. 已知，，求實數(shù)的取值集合。
21. 已知集合，，求的值。七.相關(guān)鏈接
康托爾的不朽功績
前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫戈洛夫評價康托爾的工作時說："康托爾的不朽功績在于他向無窮的冒險邁進".因而只有當我們了解了康托爾在對無窮的研究中究竟做出了些什么結(jié)論后才會真正明白他工作的價值之所在和眾多反對之聲之由來.
數(shù)學與無窮有著不解之緣，但在研究無窮的道路上卻布滿了陷阱.因為這一原因，在數(shù)學發(fā)展的歷程中，數(shù)學家們始終以一種懷疑的眼光看待無窮，并盡可能回避這一概念.但試圖把握無限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路.他把無窮集這一詞匯引入數(shù)學，從而進入了一片未開墾的處女地，開辟出一個奇妙無比的新世界.對無窮集的研究使他打開了"無限"這一數(shù)學上的潘多拉盒子.下面就讓我們來看一下盒子打開后他釋放出的是什么.
"我們把全體自然數(shù)組成的集合簡稱作自然數(shù)集，用字母N來表示."學過集合那一章后，同學們應該對這句話不會感到陌生.但同學們在接受這句話時根本無法想到當年康托爾如此做時是在進行一項更新無窮觀念的工作.在此以前數(shù)學家們只是把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋.無限永遠處在構(gòu)造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在.這種關(guān)于無窮的觀念在數(shù)學上被稱為潛無限.十八世紀數(shù)學王子高斯就持這種觀點.用他的話說，就是"......我反對將無窮量作為一個實體，這在數(shù)學中是從來不允許的.所謂無窮，只是一種說話的方式......"而當康托爾把全體自然數(shù)看作一個集合時，他是把無限的整體作為了一個構(gòu)造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在數(shù)學上稱為實無限思想.由于潛無限思想在微積分的基礎重建中已經(jīng)獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當時遭到一些數(shù)學家的批評與攻擊是無足為怪的.然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮.他在實無限觀念基礎上進一步得出一系列結(jié)論，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠的理論.這一理論使人們真正進入了一個難以捉摸的奇特的無限世界.
能顯示出他獨創(chuàng)性的是他對無窮集元素個數(shù)問題的研究.他提出用一一對應準則來比較無窮集元素的個數(shù).他把元素間能建立一一對應的集合稱為個數(shù)相同，用他自己的概念是等勢.由于一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應例如同學們很容易發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對應關(guān)系也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個數(shù).這與傳統(tǒng)觀念"全體大于部分"相矛盾.而康托爾認為這恰恰是無窮集的特征.在此意義上，自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個數(shù)，他將其稱為可數(shù)集.又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢，因而有理數(shù)集也是可數(shù)集.后來當他又證明了代數(shù)數(shù)[注]集合也是可數(shù)集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數(shù)集.但出乎意料的是，他在1873年證明了實數(shù)集的勢大于自然數(shù)集.這不但意味著無理數(shù)遠遠多于有理數(shù)，而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟，如同有人描述的那樣："點綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星;而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成."而當他得出這一結(jié)論時，人們所能找到的超越數(shù)尚僅有一兩個而已.這是何等令人震驚的結(jié)果!然而，事情并未終結(jié).魔盒一經(jīng)打開就無法再合上，盒中所釋放出的也不再限于可數(shù)集這一個無窮數(shù)的怪物.從上述結(jié)論中康托爾意識到無窮集之間存在著差別，有著不同的數(shù)量級，可分為不同的層次.他所要做的下一步工作是證明在所有的無窮集之間還存在著無窮多個層次.他取得了成功，并且根據(jù)無窮性有無窮種的學說，對各種不同的無窮大建立了一個完整的序列，他稱為"超限數(shù)".他用希伯萊字母表中第一個字母"阿列夫"來表示超限數(shù)的精靈，終他建立了關(guān)于無限的所謂阿列夫譜系
它可以無限延長下去.就這樣他創(chuàng)造了一種新的超限數(shù)理論，描繪出一幅無限王國的完整圖景.可以想見這種至今讓我們還感到有些異想天開的結(jié)論在當時會如何震動數(shù)學家們的心靈了.毫不夸張地講，康托爾的關(guān)于無窮的這些理論，引起了反對派的不絕于耳的喧囂.他們大叫大喊地反對他的理論.有人嘲笑集合論是一種"疾病"，有人嘲諷超限數(shù)是"霧中之霧"，稱"康托爾走進了超限數(shù)的地獄".作為對傳統(tǒng)觀念的大革新，由于他開創(chuàng)了一片全新的領域，提出又回答了前人不曾想到的問題，他的理論受到激烈地批駁是正常的.當回頭看這段歷史時，或許我們可以把對他的反對看作是對他真正具有獨創(chuàng)性成果的一種褒揚吧.
高考解密
考點導航05考綱考題展示
考點①了解映射的概念,理解函數(shù)的概念
1.(2004年,湖北)解答案
2.(2004年,湖北)解法一解法二答案考點②
參考答案
-----------------------------------------------------1.2.1集合之間的關(guān)系-------------------------------------
1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.B
10.四 11. {{0}，{1}}
12. 八個;
，{1}，{2}，{1，{1，2}}， {2，{1，2}}，{1，2}，{1，2，{1，2}}，{{1，2}}
13. 七個 ;
{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
14. 根據(jù)真子集的定義證明。
15. 若，則=1或者-1，
若=1，則A={1，1，y},不成立，舍去=1;
若=-1，則A={-1，1，-y}，B={1，-1，}，=-，所以=0;
若=1，2=，則，2=，即=1，
前已證，應舍去。
綜上所述，=-1，=0。16. 或17. ,,所以X=Y
18. x, y的值有以下幾種可能的組合:
①x=2,y=3,4,5,6,7,8,9;②x=3,y=3;③x=4,y=4; ④x=5,y=5; ⑤x=6,y=6; ⑥x=7,y=7; ⑦x=8,y=8;⑧x=9,y=9;
所以答案為1419.所以答案為-2
20. 先將集合A用列舉法表示,再根據(jù)條件,分情況討論B中元素的情況,求a的值. A={-4，2}，關(guān)于B，分三種情況討論：
(1) B={-4}
(2) B={2}
(3) B={-4，2}，
所以的取值的集合是{-4，2}。
21. 有兩種可能: �、倩蛘撷谧⒁馑源鸢笧�.
